摘要：測量下限是光散射顆粒測試技術的重要指標。本文對顆粒散射光的光強分布進行了細致比較，對Mie散射向Rayleigh散射趨近的情況進行了分析，本文通過對Mie散射理論的深入研究和計算機模擬證實，對于氦氖激光，當測量粒徑在0.2微米以下，Mie散射的解迅速趨近于Rayleigh散射的解，其光強分布函數變得簡單，特別是在50納米以下，我們無法用通常的靜態光散射法從光強空間分布函數中提取足夠的信息來計算顆粒直徑。本文的結果對各種光散射顆粒測試設備的研究有參考價值。
   關鍵詞：顆粒；粒度；光散射；Mie理論；測量下限
隨著生產力的發展，科技的進步，人們希望準確測量更小的顆粒，對顆粒測試的下限提出了更高的要求。近幾年國內外出現了多種靜態光散射儀器，測量下限差別很大。究竟靜態光散射測量下限在那里？這是一個理論問題，也是一個人們十分關心的實際問題。
    靜態光散射粒度分析，主要是依據不同大小顆粒的散射能量的空間分布（散射譜）的差異確定顆粒大小。如果散射譜的空間分布差異消失，則靜態光散射將不能測量顆粒粒度，應代之以動態光散射或其他分析技術。Mie散射理論是顆粒光散射的基礎理論，因此顆粒測量下限的確定，實質上決定于Mie散射理論能譜的研究。本文以Mie理論為依據，通過理論分析和進行計算機模擬，確定測量下限的參考范圍。

1 Mie散射基本公式

Mie理論是對處于均勻介質中的各向均勻同性的單個介質球在單色平行光照射下的Maxwell方程邊界條件的嚴格數學解。入射光為*偏振光時（ 為散射角， 為入射光振動面與散射面之間的夾角），垂直散射面的散射光強Ir和平行于散射面的散射光強Il以及總散射光強IS的表達式分別為：
Ir =                      （1）
Il=                      （2）
Is=                                 （3）
其中： Is = Ir + Il  , =  , = 
、 為散射振幅函數：
=                          （4）
=                          （5）
式中an、bn為Mie散射系數，表達式為:
                             （6）
                             （7）
m是顆粒折射率，a為顆粒尺寸參數:a =πD/λ
                                          （8）
                                         （9）
z表示ma或a， 、 ，分別表示半整數階的貝塞爾函數和第二類漢克爾函數。 表示 .和 分別對各自變量的微商。
式中πn、τn, 為散射角函數，表達式為： 
                                     （10）
（cos（θ））是為一階締合勒讓德函數。
當顆粒直徑遠d小于入射光波長λ時，Mie散射為近似Rayleigh散射，其散射光強為：
                       （11）

2 Mie散射與Rayleigh散射光分布圖像形狀的比較：

通過散射光分布圖像的形狀來判斷顆粒的直徑是一種有效且易于操作的分辨方法，但是這種方法有一定的適用范圍，只有在圖像形狀隨粒徑有明顯變化時才能使用。
首先我們把散射光強都進行了歸一化處理，這樣做可以排除散射光強度的影響，只關注散射光分布的圖像的形狀。為了便于討論，本文在編程計算時均假設入射光源是較為常用的波長為0.6328微米的激光器，對于其他波長的光源易有類似結論。
圖3
圖4
圖1
圖2
如圖1-圖5分別為Rayleigh散射和粒徑為2nm-1960nm的Mie散射在極坐標下的歸一化光強，圖中徑向為相對光強，橫向為散射角，散射角從0度到360度，入射光波長為632.8nm。
圖5

通過觀察可以發現：
（1） d取2-50nm時，Mie散射與Raileigh散射的圖像的光強分布圖像很相似，尤其是2nm的Mie散射圖像（圖2）和Raileigh散射的圖像（圖1）用肉眼難以區分。前向散射（0度至90度和270度至360度）和后向散射（90度至270度）基本對稱。整個圖像呈一個“豆瓣形”。
（2） d取50-200nm時，Mie散射的光強分布圖像逐漸變為前向大于后向，當d=200nm時,大部分光散射已集中在前向，不再前后對稱。（如圖3）
（3） d取340nm-1960nm時，前向散射遠大于后向散射，而且在后向逐漸趨于復雜的花瓣狀分布。（如圖4，圖5）
3 定量比較Mie散射與Rayleigh散射光分布
構造差異函數 
其中：θ為散射角，從1度取至360度；d為粒徑；Imie（d, θ）為粒徑為d時在θ角上的Mie散射歸一化光強；Iray（θ）為在θ角上的Rayleigh散射歸一化光強。
顯然，Mie散射的光強分布圖與Rayleigh散射光強分布圖越接近F（d）越小，F（d）表征Mie散射的光強分布與Rayleigh散射光強分布圖像形狀的接近程度。
圖6
圖7
編制程序進行計算，可得F（d）圖像如下：

可以觀察到差異函數曲線在d相對小時比較平滑（如圖6的起始部分和圖7），當d增大時F（d）迅速增大，從剛開始的0.1-0.2增至150以上，相差三個數量級。而且通過進一步的計算我們可以發現ｄ＞1000時，F（d）增大得更為迅速。F（d）越大說明圖像變化越大，此時圖像更容易分辨，測量誤差較小；反之，F（d）越小說明圖像變化越小，此時圖像較難分辨，測量誤差較大。
根據不同的測量精度要求，可得不同的測量范圍，精度越高，范圍越小。一般來講：
 （1）  d取200nm以上時，Mie散射的光強分布圖像與Rayleigh散射的光強分布圖像差別較大。此時，Mie散射的光強分布圖像的形狀可提供里較多的粒度信息，可以用來判斷顆粒粒徑。
（2）    d取50-200nm時，Mie散射的光強分布圖像與Rayleigh散射的光強分布圖像差異很小，據此提取粒度信息非常困難。
（1）  d<50nm時，Mie散射與Rayleigh散射的光強分布圖像很相似，靜態光散射已經無法提取顆粒粒度信息。
圖8 當散射角為0,45,90,135,180度時散射光強I隨d變化，d取10至1000nm

4 對散射光強度的討論

雖然當d較小時，Mie散射的光強分布圖像與Rayleigh散射的光強分布圖像很相似，不易用散射的光強分布圖像的形狀來判斷粒徑，但我們在理論上可以利用其他的特點來求解粒徑。
如圖8：當d較小時某角度的散射光強隨d的增大而迅速增大，并具有相當好的單調性，如圖8的前部。圖8的Y軸是指數坐標，可見散射光強隨d的增加是非常迅速的。在圖像上的單調區域，我們可以根據顆粒布朗運動與顆粒大小相關的動態光散射原理，采用光子相關技術獲得關于顆粒大小的信息。

5 結論

由以上分析可知靜態光散射測定顆粒粒徑的下限應該在50nm-200nm之間，*測定范圍在0.2微米以上。增加附加探頭也不能改變此測量下限。

參考文獻
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Abstract: The lower bound is the key point of the light scattering technique. In this article, the intensity distributions of different scattering light are compared, the relationship between Mie scattering and Rayleigh scattering is investigated. By an in-depth study on Mie theory and computer simulation, the conclusion was drawn that, for He-Ne laser, when the survey particle size is less than 0.2 micron, the Mie scattering solution draws close in the Rayleigh scattering solution rapidly, its intensity distribution function becomes simply. Especially for the particle less than 50 nanometer, we are unable to distill enough information from light intensity spatial distribution function to calculate the particle diameter with static light scattering, which is used usually. This result is of guidance significance to the research of the light scattering equipment. 
Keywords: particle; granularity; light scattering; Mie theory; lower bound