散射系數計算方法的研究

王少清 任中京 張希明 何芳 江海鷹

山東建筑材料工業學院，濟南 250022

摘要：介紹一種計算Mie散射系數的新方法，給出計算實例。

關鍵詞：Mie散射 Mie系數 Mie計算

Study of calculating method of mie scattering coefficient

Wang shaoqing   Ren zhongjing  Zhang ximing  Hefang  Jianghaiying

(Shangdong  lnstitute of building materiele.Jinan 25022)

Abstract: A new method of calculating mie coefficient is introduced,and calculating examples are                   given

Keywords :Mie scattering ,Mie coefficient ,Mie calculation

1引言

Mie理論是球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴格解析解。目前在環保、動力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術領域中有廣泛的應用。利用單一顆粒或顆粒群光散射場的測量數據, 可以反推得散射顆粒或顆粒群的很多物理性質, 如顆粒的尺寸和顆粒的折射率等。但反推前必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復折射率下的散射場分布數據。由于散射解十分復雜, 故雖然其解折表達式早在年速、準確計算, 以滿足工程測量, 尤其是在線式工程測量方面的需要, 一直是多年來沒有得到*解決的一個難題。

1968年Davezui先報道了完整的Mie散射計算方法，又針對部分計算提出新算法。國內也有人發表了他們自己的算法。但總的看來, 這些算法均有各自的局限性。尤其是當顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時, 往往計算速度過慢或產生溢出和不收斂等現象。本文介紹散射新算法。該算法的特點是不受顆粒尺寸及折射率的限制, 不會產生溢出和不收斂現象, 且具有較快的計算速度。

2 Mie散射系數的計算公式

Mie散射計算的中心問題是計算Mie散射系數an和bn，其表達式為

其中，a為顆粒的尺寸參數，定義為

D為顆粒的直徑，為入射光在顆粒周圍介質中的波長，而m為顆粒在周圍介質中的相對復折射率，即

式中，Jn+1和Nn+1分別為半整數階的*類和第二類貝塞爾函數。

以上是計算Mie散射系數的基本公式。與Mie散射有關的物理量如散射場強度、顆粒的消光系數、散射系數和吸收系數、散射光中兩偏振分量的相差、顆粒群的比濁度、不對稱因子等）均可利用Mie散射系數求得。

3 計算產生溢出的原因

計算M ie 散射系數須先計算和一般采用遞推法。遞推又分為向前遞推(即從n=0開始) 與向后遞推(即從n=N 開始至n=0為頂先設定值)。實驗表明, 向前遞推總是快于向后遞推。

分析（8）（9）兩式可知，當時，若顆粒尺寸d 很大或復折射率的虛部值m2很大, 將使得乘積m2d很大, 可能使(8)(9)兩式中的項的值超過計算機的數據限, 從而產生溢出。這是產生溢出的zui要原因。另外在遞推過程中, 不恰當的算法也可能造成溢出。

4 an和bn的新算法

為解決上述問題，作者提出了新算法。將an和bn公式變形如下，令

（12）~（15）式應采用比值形式，即四個公式中的后半段形式，這樣可避免遞減過程中a1與b1較大時乘法運算可能產生的溢出。

均為實變量函數，計算計不會產生溢出。關鍵是
的算法如何處理才能保證計算中不產生溢出。Lentz算法采用連分式計算Lm值，其精度是由在大量計算基礎上得出一個截斷項數N與參數a及m的經驗公式而實現的。這樣的經驗公式一則有實用上的局限性，再則也會帶來截斷誤差。文獻對此經驗公式作了改進，但扔限于a=1-100，m1=1-2，m2=0-1的范圍。下面介紹本文作者發表的關于Ln的新算法。該算法的特點是不受a及m值的限制，不會產生溢出或不收斂等病態現象，且具有較快的計算速度。令

上面導出的（10）~（38）構成Mie系數an和bn是從n=1開始計算的，利用初值公式（34）~（38）式即可算得任意級數an和bn的值，故沒有舍入誤差問題。從（34）式可見，因為y=m2a<0,故無論m2和a取何值均不會產生初值溢出：又（12）~（16）各式采用了比的形式，避免了計算過程中溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。再者，本算法屬于向前遞推。

5 計算實例

利用以上算法編制計算顆粒散射強度和消光系數的計算程序。當單位振幅波長為的平面自然光入射到顆粒上時，顆粒的散射光強為

徑d=0.001μm、1.0μm、30μm和100μm，而圖1（d）、（e）為圖（b）、（c）的局部放大圖。

可見，隨著顆粒尺寸的增大，前向投射迅速加強，（如圖1（a）、（b）和（c）所示）；并且隨著顆粒尺寸的增大，出現了復雜的旁瓣及明顯的后向散射現象。圖2為顆粒的散射光電分布隨折射率實部與虛部的變化情況。可見，隨著m1和m2的增大，雖然顆粒尺寸不變，散射光也加強，且后向散射逐漸增強。

圖3 (a )、(b) 為消光系數的計算結果。其圖3 (a) 表示消光系數隨折射率實部的變化；圖3 (b ) 表示消光系數隨折射率虛部的變化。可見隨著顆粒尺寸的增大，消光系數趨近于2。而折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨勢變得更快和更明顯；另外，折射率虛部M2不等于0時，消光系數的振蕩迅速消失。